Question

2．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F．
（Ⅰ）點(diǎn)A，P滿足$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{FA}$．當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，1），求直線l與拋物線C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），求得向量AP，F(xiàn)A的坐標(biāo)，由條件運(yùn)用代入法，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）由題意可得直線l的方程為y-1=k（x+2），討論當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立拋物線方程，消去x并整理，由判別式等于0，大于0，小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)P（x，y），A（x₀，y₀），則有$y_0^2=4{x_0}$①
$\overrightarrow{AP}=（x-{x_0}，y-{y_0}）$，$\overrightarrow{FA}=（{x_0}-1，{y_0}）$．
由$\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{FA}$，得
$\left\{\begin{array}{l}x-{x_0}=-2（{x_0}-1）\\ y-{y_0}=-2{y_0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2-x\\{y_0}=-y\end{array}\right.$②
把②代入①得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：y²=-4（x-2）；
（Ⅱ）由題意可得直線l的方程為y-1=k（x+2），
當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=1，直線l與拋物線C有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k≠0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x+2）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x并整理，得ky²-4y+8k+4=0．
判別式△=（-4）²-4k（8k+4）=-16（k+1）（2k-1），
由△=0，得k=-1或$k=\frac{1}{2}$；由△＞0，得$-1＜k＜\frac{1}{2}$．
所以，恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的相應(yīng)取值范圍是$\{-1，0，\frac{1}{2}\}$；
恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的相應(yīng)取值范圍是$\{x|-1＜x＜\frac{1}{2}，x≠0\}$；
沒有公共點(diǎn)時(shí)，k的相應(yīng)取值范圍是{x|x＜-1，或$x＞\frac{1}{2}\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查向量的共線的坐標(biāo)表示和直線和拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．