Question

【題目】四棱錐中，平面，四邊形是矩形，且，，是線段上的動點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角為，

①求線段的長；

②求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①2②

【解析】

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸 ，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證出，，再利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）①求出平面的一個法向量，利用，即可求線段的長；②求出平面的一個法向量，再根據(jù)為平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（1）依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸 ，

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

可得，，，，

，，.

，，，

，，.

即，，，.

所以平面.

（2）①設(shè)為平面的法向量，

則，即，

不妨令，可得為平面的一個法向量，

于是有，.

所以，得或（舍）.

，，線段的長為；.

②設(shè)為平面的法向量，，

則即，

不妨令，可得為平面的一個法向量，.

又為平面的一個法向量，.

所以.