Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）為奇函數(shù)．證明如下：

∵2x+1≠0，

∴f（x）的定義域為R，

又∵ ，

∴f（x）為奇函數(shù)

（2）解： ，

任取x1、x2∈R，設(shè)x1＜x2，

∵ = = ，

∵ ，∴ ，又 , ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在其定義域R上是增函數(shù)

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可作出判斷、證明；（2） ，任取x1、x2∈R，設(shè)x1＜x2 ， 通過作差證明f（x1）＜f（x2）即可；
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性與單調(diào)性的綜合，掌握注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題．