Question

如圖，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點.

（1）求二面角α—l—β的大��；

（2）求證：MN⊥AB；

（3）求異面直線PA與MN所成角的大小.

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：如圖，連PD，由三垂線定理，PD⊥l，故∠ADP為二面角α—l—β的平面角，由PA＝AD得∠ADP＝45°； （2）證明：作NQ∥CD，則NQ＝CD＝AB，于是NQAM，AMNQ是平行四邊形，故AQ∥MN，由AB⊥PA，AB⊥AD，有AB⊥平面APD，又AQ平面APD，從而AB⊥AQ，AB⊥MN； （3）解：PA與MN所成的角即是PA與AQ所成的角，因為∠PAQ為等腰直角三角形，AQ為斜邊上的中線，所以∠PAQ＝45°，即PA與MN所成的角大小為45°.