Question

如圖，橢圓的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂與x軸垂直的直線與橢圓交于S，T，與拋物線交于C，D兩點，且|CD|=2

2

|ST|．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，若過點M（2，0）的直線l與橢圓相交于不同兩點A和B，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的應用,橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由焦點F₂（1，0），根據(jù)|CD|=2

2

|ST|，所以|ST|=

2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設過m（2，0）的直線為y=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），由

OA

+

OB

=t

OP

，得

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

，由此結合題設條件能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓標準方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意，拋物線y²=4x的焦點為F₂（1，0），|CD|=4．
因為|CD|=2

2

|ST|，所以|ST|=

2

．…（2分）
又S(1，

b2

a

)，T(1，-

b2

a

)，|ST|=

2b2

a

=

2

，
又c²=1=a²-b²，所以a=

2

，b=1．
所以橢圓的標準方程

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-2）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-2)

消去y，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），則x₁，x₂是方程（*）的兩根，
所以△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，即2k²＜1，①…（7分）
且x1+x2=

8k2

1+2k2

，
由

OA

+

OB

=t

OP

，得

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

若t=0，則P點與原點重合，與題意不符，故t≠0，
所以，

x0= 1 t (x1+x2)= 1 t • 8k2 1+2k2 y0= 1 t (y1+y2)= 1 t ×[k(x1+x2)-4k]= 1 t • -4k 1+2k2

…（9分）
因為點P（x₀，y₀）在橢圓上，所以2=

x

2 0

+2

y

2 0

=

1

t2

[(

8k2

1+2k2

)2+

32k2

(1+2k2)2

]，
即

1

8

t2=

4k4+2k2

(1+2k2)2

=1-

1

1+2k2

，
再由①，得0≤

1

8

t2＜

1

2

，
又t≠0，所以t∈（-2，0）∪（0，2）．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．