Question

一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是

1

3

．
（1）求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列；
（2）求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列；
（3）這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由ξ～B(5，

1

3

)，能求出這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列．
（2）η=k（k=0，1，2，3，4），也就是說{前k個是綠燈，第k+1個是紅燈}，η=5，也就是說（5個均為綠燈），則P（η=k）=(

2

3

)k•

1

3

，k=0，1，2，3，4，由此能求出這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列．
（3）利用對立事件概率計算公式能求出這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率．

解答： 解：（1）由于ξ～B(5，

1

3

)，
則P（ξ=k）=

C

k 5

(

1

3

)k(

2

3

)5-k，k=0，1，2，3，4，5；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

（2）η=k（k=0，1，2，3，4），
也就是說{前k個是綠燈，第k+1個是紅燈}，η=5，
也就是說（5個均為綠燈），
則P（η=k）=(

2

3

)k•

1

3

，k=0，1，2，3，4；
P（η=5）=(

2

3

)5=

32

243

；
所以η的分布列為：

η	0	1	2	3	4	5
P	1 3	2 9	4 27	8 81	16 243	32 243

（3）所求概率P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(

2

3

)5=

211

243

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題．