Question

已知點A（-4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為-2，點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ） 求曲線C 的軌跡方程；
（Ⅱ） Q為直線y=-1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設M（x，y），由題意可得：

y-4

x+4

-

y-4

x-4

=-2，化簡可得曲線C 的軌跡方程為x²=4y且（x≠±4）．
（II）設Q（m，-1），切線方程為y+1=k（x-m），與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx+4（km+1）=0，由于直線與拋物線相切可得△=0，即k²-km-1=0．解得x=2k．可得切點（2k，k²），由k²-km-1=0．可得k₁+k₂=m，k₁•k₂=-1．得到切線QD⊥QE．因此△QDE為直角三角形，S=

1

2

|QD|•|QE|．令切點（2k，k²）到Q的距離為d，則d²=（2k-m）²+（k²+1）²=（4+m²）（k²+1），利用兩點之間的距離公式可得|QD|=

(4+m2)( k 2 1 +1)

，|QE|=

(4+m2)( k 2 2 +1)

，代入即可得出．

解答： 解：（I）設M（x，y），由題意可得：

y-4

x+4

-

y-4

x-4

=-2，
化為x²=4y．
∴曲線C 的軌跡方程為x²=4y且（x≠±4）．
（II）設Q（m，-1），切線方程為y+1=k（x-m），
聯(lián)立

y+1=k(x-m) x2=4y

，化為x²-4kx+4（km+1）=0，
由于直線與拋物線相切可得△=0，即k²-km-1=0．
∴x²-4kx+4k²=0，解得x=2k．可得切點（2k，k²），
由k²-km-1=0．∴k₁+k₂=m，k₁•k₂=-1．
∴切線QD⊥QE．
∴△QDE為直角三角形，S=

1

2

|QD|•|QE|．
令切點（2k，k²）到Q的距離為d，
則d²=（2k-m）²+（k²+1）²=4（k²-km）+m²+（km+2）²=4（k²-km）+m²+k²m²+4km+4=（4+m²）（k²+1），
∴|QD|=

(4+m2)( k 2 1 +1)

，
|QE|=

(4+m2)( k 2 2 +1)

，
∴S=

1

2

（4+m²）

(k1+k2)2-2k1k2+2

=

1

2

(4+m2)

4+m2

≥4，
當m=0時，即Q（0，-1）時，△QDE的面積S取得最小值4．

點評：本題考查了直線與拋物線相切的性質、切線方程、相互垂直的斜率之間的關系、兩點之間的距離公式、三角形的面積計算公式、二次函數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．