Question

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，判斷并證明函數(shù)y=

ax

x2+1

，a≠1在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義，設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，討論a的符號，判斷y₁-y₂的符號即可得出原函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則：
y1-y2=

ax1

x12+1

-

ax2

x22+1

=

a(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0；
∴a＞0時，y₁＜y₂，∴函數(shù)y在（-1，1）上單調(diào)遞增；
a＜0時，y₁＞y₂，∴函數(shù)y在（-1，1）上單調(diào)遞減．

點評：考查函數(shù)單調(diào)性的定義，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，在作差求y₁-y₂時，一般要寫成因式乘積的形式．