Question

點F為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，若橢圓上存在點A使△AOF為正三角形，那么橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先，寫出焦點F的坐標，然后，根據(jù)△AOF為正三角形，建立等式，求解其離心率．

解答： 解：如下圖所示：

設橢圓的右焦點為F，根據(jù)橢圓的對稱性，得
直線OF的斜率為k=tan60°=

3

，
∴點P坐標為：（

1

2

c，

3

2

c），
代人橢圓的標準方程，得

c2 4

a2

+

3 4 c2

b2

=1，
∴b²c²+3a²c²=4a²b²，
∴e=

3

-1．
故選：D．

點評：本題重點考查了橢圓的概念和基本性質，屬于中檔題．求解離心率的解題關鍵是想法設法建立關于a，b，c的等量關系，然后，進行求解．