Question

已知常數(shù)p＞0且p≠1，數(shù)列{a_n}前n項和Sn=

p

1-p

(1-an)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=log_pa_2n-1且b₁=1，
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若對于區(qū)間[0，1]上的任意實數(shù)λ，總存在不小于2的自然數(shù)k，當n≥k時，b_n≥（1-λ）（3n-2）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

p

1-p

(1-an)-

p

1-p

(1-an-1)，整理得a_n=pa_n-1，由a_n＞0，知

an

an-1

=p，故數(shù)列{a_n}等比數(shù)列．
（2）由a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1，知b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2，故（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2），變形為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]時恒成立．由此能求出k的最小值．

解答：解：（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

p

1-p

(1-an)-

p

1-p

(1-an-1)整理得a_n=pa_n-1又a1=S1=

p

1-p

(1-a1)?a1=p＞0
恒有a_n＞0從而

an

an-1

=p數(shù)列a_n等比數(shù)列
（2）由（1）知a_n=pⁿb_n+1-b_n=log_pa_2n-1=2n-1∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）++（b₂-b₁）+b₁=n²-2n+2
∴（n²-2n+2）≥（1-λ）（3n-2）變形為（3n-2）λ+n²-5n+4≥0在λ∈[0，1]時恒成立
記f（λ）=（3n-2）λ+n²-5n+4則有：

f(0)≥0 f(1)≥0

?n≥4或n≤1但由于n≥2∴n≥4
綜上知：k的最小值為4

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意等比數(shù)列的證明．