Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))．

(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，)，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；

(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)點(diǎn)P在直線 l上．(2)最小值為.

【解析】

試題分析：(1)把極坐標(biāo)系的點(diǎn)P(4，)化為直角坐標(biāo)，得P(0,4)，

因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線 l上．

(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，

從而點(diǎn)Q到直線l的距離

＝cos(α＋)＋2，

由此得，當(dāng)cos(α＋)＝－1時(shí)，d取得最小值，且最小值為.

考點(diǎn)：本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，三角函數(shù)輔助角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，（1）利用數(shù)形結(jié)合法，極值于直角三角形邊角關(guān)系，確定得到極坐標(biāo)方程。（2）的解答，很好體現(xiàn)了參數(shù)方程的應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值的研究。