Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C上的點(diǎn)M滿(mǎn)足：M到原點(diǎn)的距離與M到直線(xiàn)y=-p（p＞0）的距離之比為常數(shù)e（e＞0），直線(xiàn)l：ρ=$\frac{4}{cosθ-2sinθ}$
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明曲線(xiàn)C的形狀；
（Ⅱ）當(dāng)e=1，p=1時(shí)，M，N分別為曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l上的兩動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M（ρ，θ），由題意可得：$\frac{ρ}{ρsinθ+p}$=e，可得曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為：$ρ=\frac{ep}{1-esinθ}$，對(duì)e分類(lèi)討論即可得出．
（II）由e=1，p=1得：曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ-ρsinθ=1，化成直角坐標(biāo)方程：x²=2y+1．直線(xiàn)l：ρ=$\frac{4}{cosθ-2sinθ}$，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化為直角坐標(biāo)方程．點(diǎn)M，N分別為曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（x₀，y₀）．|MN|的最小值就是M到l的距離最小值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為M（ρ，θ），由題意可得：$\frac{ρ}{ρsinθ+p}$=e，
∴曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為：$ρ=\frac{ep}{1-esinθ}$，
若0＜e＜1時(shí)，曲線(xiàn)C是橢圓；
若e=1時(shí)，曲線(xiàn)C是拋物線(xiàn)；
若e＞1時(shí)，曲線(xiàn)C是雙曲線(xiàn)．
（II）由e=1，p=1得：曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ-ρsinθ=1，可得ρ=y+1，兩邊平方可得：ρ²=x²+y²=y²+2y+1，
化成直角坐標(biāo)方程：x²=2y+1．
直線(xiàn)l：ρ=$\frac{4}{cosθ-2sinθ}$的直角坐標(biāo)方程為x-2y-4=0，
點(diǎn)M，N分別為曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（x₀，y₀）．
|MN|的最小值就是M到l的距離最小值，
∴|MN|_min=$\frac{|{x}_{0}-2{y}_{0}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（{x}_{0}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}{\sqrt{5}}$$≥\frac{11\sqrt{5}}{20}$，
當(dāng)${x}_{0}=\frac{1}{2}$時(shí)，取“=”．
∴|MN|的最小值為$\frac{11\sqrt{5}}{20}$，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M$（\frac{1}{2}，-\frac{3}{8}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．