Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為S_n,且對(duì)于所有的正整數(shù)n,有a_n=2-2.

(1)寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的三項(xiàng);

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式,并寫(xiě)出推證過(guò)程;

(3)令b_n=,求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

解析：(1)由題意，當(dāng)n=1時(shí)，有a₁=2-2,S₁=a₁，

∴a₁=2-2,解得a₁=2.

當(dāng)n=2時(shí)，有a₂=2-2,S₂=a₁+a₂,

將a₁=2代入，整理得（a₂-2）²=16,

由a₂＞0，解得a₂=6.

當(dāng)n=3時(shí)，有a₃=2-2,S₃=a₁+a₂+a₃,

將a₁=2,a₂=6代入，整理得（a₃-2）²=64,

由a₃＞0，解得a₃=10.

所以該數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，6，10.

(2)由a_n=2-2(n∈N^*),整理得S_n=(a_n+2)²,

則S_n+1=(a_n+1+2)²,

∴a_n+1=S_n+1-S_n=［(a_n+1+2)²-(a_n+2)²］.

整理，得（a_n+1+a_n）(a_n+1-a_n-4)=0,

由題意知a_n+1+a_n≠0,∴a_n+1-a_n=4.

∴即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)a₁=2，公差d=4,

∴a_n=a₁+(n-1)d=2+4(n-1).

即通項(xiàng)公式為a_n=4n-2(n∈N^*).

(3)b_n=,

T_n=b₁+b₂+…+b_n

=.