Question

【題目】已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)．

當時，設函數(shù)，判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并說明理由；

設函數(shù)，若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

代入a的值，求出的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

由題意把函數(shù)有且僅有一個零點轉(zhuǎn)化為有且只有1個實數(shù)根，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

（1）由題意，當時，，則，

因為，又由在遞減，

所以在遞增，

所以根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù)；

由，得，即，

若函數(shù)有且只有1個零點，

則方程有且只有1個實數(shù)根，

化簡得，

即有且只有1個實數(shù)根，

時，可化為，即，

此時，滿足題意，

當時，由得：

，解得：或，

當即時，方程有且只有1個實數(shù)根，

此時，滿足題意，

當即時，

若是的零點，則，解得：，

若是的零點，則，解得：，

函數(shù)有且只有1個零點，所以或，，

綜上，a的范圍是，．