Question

18．已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），B（-1，0），動(dòng)圓C與直線MN相切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P（異于點(diǎn)M，N），則P點(diǎn)的軌跡方程為（　�。�

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＞1）
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＜-1）
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＜0）
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＜-1）

Answer 1

分析 PM，PN分別與圓C相切于R、Q，根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理，能夠推導(dǎo)出PN-PM=QN-RM=NB-MB=2＜MN，因此點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線．再根據(jù)題條件能夠求出P點(diǎn)的軌跡方程

解答 解：設(shè)PM，PN分別與圓C相切于R、Q．
則PR=PQ，MR=MB，NQ=NB．
∴PN-PM=QN-RM=NB-MB=2＜MN，
∴P點(diǎn)軌跡為以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支．
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則2a=PN-PM=2，∴a=1．
∵c=2，∴b²=c²-a²=3．
∴雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．（x＜-1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的基本性質(zhì)和圓的切線長(zhǎng)定理，解題時(shí)要注意審題．