Question

19．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的棱長(zhǎng)為8，點(diǎn)H在棱AA₁上，且HA₁=2，點(diǎn)E、F分別為棱B₁C₁、C₁C的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PE⊥PF，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，HP²的最小值是（　　）

• A． 10
• B． 27-6$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{21}$
• D． 108-24$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，知GP最小時(shí)，HP取得最小值，求出此時(shí)GP的值即可．

解答 解：如圖所示．以EF為直徑在平面BCC₁B₁內(nèi)做圓，該圓的半徑為r=$\frac{1}{2}$|EF|=$2\sqrt{2}$，
再過(guò)H引BB₁的垂線，垂足為G，連接GP，
則HP²=HG²+GP²，其中HG為棱長(zhǎng)8，
因此當(dāng)GP∥B₁C₁時(shí)，OG=6，此時(shí)GP取得最小值為6-$2\sqrt{2}$，從而HP取得最小值；
∴HP²=$（6-2\sqrt{2}）^{2}$+8²=36-24$\sqrt{2}$+8+64=108-$24\sqrt{2}$；
即HP²的最小值為108-$24\sqrt{2}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系與距離的求法問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是得出GP最小值，是易錯(cuò)題目，屬于中檔題．