Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和．（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求定義區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，最后列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)：確定單調(diào)區(qū)間,（2）恒成立問(wèn)題，解決方法為轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題： 的最大值小于零，先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變化進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，先增后減，在極值點(diǎn)處取最大值，不恒小于零：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減， .

試題解析：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為和．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 恒成立，

令，

問(wèn)題轉(zhuǎn)換為時(shí)， ．

，

①當(dāng)時(shí)， ，

在上單調(diào)遞增，

此時(shí)無(wú)最大值，故不合題意．

②當(dāng)時(shí)，令解得， ，

此時(shí)在上單調(diào)遞增，

此時(shí)無(wú)最大值，故不合題意．

③當(dāng)時(shí)，令解得， ，

當(dāng)時(shí)， ，

而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

令， ，

則，

在上單調(diào)遞增，

又，

當(dāng)時(shí)， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當(dāng)時(shí)， ，

而此時(shí)在上單調(diào)遞減， ，符合題意．

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（也可用洛必達(dá)法則）