Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊之長依次為a，b，c，且cosA=

2 5

5

，5（a²+b²-c²）=3

10

ab．
（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a-c=

2

-1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用已知5（a²+b²-c²）=3

10

ab代入余弦定理公式求得cosC的值，利用同角三角函數關系求得sinC的值，進而利用二倍角公式求得cos2C的值；通過cosA求得sinA的值，最后利用兩角和公式取得sin（A+C）的值，進而取得sinB的值，求得B．
（Ⅱ）利用正弦定理求得a和c的關系式，代入a-c=

2

-1求得a和c，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（I）由∵cosA=

2 5

5

，0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
∵5（a²+b²-c²）=3

10

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3 10

10

，
∵0＜C＜π，
∴sinC=

1-cos2C

=

10

10

，
∴cos2C=2cos²C-1=

4

5

，
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-

2 5

5

×

3 10

10

+

5

5

×

10

10

=-

2

2

∵0＜B＜π，
∴B=

3π

4

．
（II）∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴a=

csinA

sinC

=

2

c，
∵a-c=

2

-1，
∴a=

2

，c=1，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

×1×

2

2

=

1

2

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運用，兩角和與差的正弦公式等知識．考查學生對基礎知識的綜合運用．