Question

求數(shù)列1，a+a²，a²+a³+a⁴，a³+a⁴+a⁵+a⁶，…的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意知a3=an-1+an+…+a2n-2，由此利用a的取值進行分類討論，由此能求出前n項和S_n．

解答： 解：由題意知a3=an-1+an+…+a2n-2，
當a=1時，an=n，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
當a≠1由等比數(shù)列的求和公式，得：
an=

an-1(1-an)

1-a

=

an-1-a2n-1

1-a

，
∴Sn=

1

1-a

[(1+a+a2+…+an-1)-（a+a³+…+a^2n-1）]，
①當a≠±1時，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]．
②當a=-1時，Sn=

1

2

[1-1+1-1+…+(1-)n-1+(-1-1-1-…-1)]
=

1

2

[1-1+1-1+…+(-1)n-1]-n×(-1)×

1

2

，
當n為奇數(shù)時，Sn=

1

2

×1+

1

2

n=

1+n

2

，
當n為偶數(shù)時，Sn=

1

2

×0+

1

2

n=

n

2

．
綜上，得：當a=1時，Sn=

n(n+1)

2

．
當a=-1時，Sn=

n+1 2 ，n為奇數(shù) n 2 ，n為偶數(shù)

．
當a≠±1時，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．