Question

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

試求當(dāng)時(shí)， 的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的直角坐標(biāo)方程為 它表示以為圓心、為半徑的圓; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）曲線： ，可以化為；可得圓；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，利用參數(shù)的幾何意義求當(dāng)， 的值.

試題解析：

（Ⅰ）曲線： ，可以化為

，

因此，曲線的直角坐標(biāo)方程為

它表示以為圓心、為半徑的圓．　

（Ⅱ）法一：當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))

點(diǎn) 在直線上，且在圓內(nèi)，把

代入中得

設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，

則，

　

法二：由（Ⅰ）知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

即圓心的坐標(biāo)為半徑為，點(diǎn) 在直線上，且在圓內(nèi)

圓心到直線的距離

所以弦的長滿足