Question

（本題滿分14分）

設(shè)函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）若，試確定的單調(diào)性；

（3）記，且在上的最大值為M，證明：．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）當時,函數(shù)有極大值，，

當時，函數(shù)有極小值，

（2）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（3）略

【解析】

解：（1）若，則

有

令得,--------------------------------1分

∵當時，當時，當時，

∴當時,函數(shù)有極大值，， -----------2分

當時，函數(shù)有極小值， ----------------3分

(2)∵ 即

又

∴＝------------5分

當即時，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增； -----------------------6分

當，即時，由得或，

由得； ----------------7分

當，即時，由得或，

由得；-------------------------8分

綜上得：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減-9分

當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.-10分

（3）根據(jù)題意＝，

∵在上的最大值為M，

∴

即 -------------------12分

2＝

∴    ----------------------14分