Question

如圖J12­4所示，在底面是矩形的四棱錐P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中點(diǎn)．

(1)求證：平面PDC⊥平面PAD；

(2)求二面角E­AC­D的余弦值；

(3)求直線CD與平面AEC所成角的正弦值．

圖J12­4

Answer 1

解：方法一：

(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥CD.

又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.

又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.

(2)取AD的中點(diǎn)O，連接EO，則EO∥PA.

∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.

過點(diǎn)O作OF⊥AC交AC于點(diǎn)F，連接EF，

則∠EFO就是二面角E­AC­D的平面角．

由PA＝2，得EO＝1.

在Rt△ADC中，由AD·CD＝AC·h，得h＝.

又∵O是AD的中點(diǎn)，OF⊥AC，∴OF＝.

而EO＝1，由勾股定理可得EF＝，

故cos∠EFO＝＝＝，即二面角E ­AC ­D的余弦值為.

(3)延長(zhǎng)AE，過點(diǎn)D作DG垂直AE于點(diǎn)G，連接CG.

由(1)可知，CD⊥AE，又CD∩DG＝D，∴AE⊥平面CDG.

過點(diǎn)D作DH垂直CG于點(diǎn)H，則AE⊥DH.

又CG∩AE＝G，∴DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，

∴CD在平面ACE內(nèi)的射影是CH，

∴∠DCH是直線CD與平面AEC所成的角．

∵DG＝AD·sin∠DAG＝AD·sin∠OAE＝AD·＝，

又在Rt△CDG中，CD＝2，∴CG＝

方法二：如圖，以為A原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A­xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，E(0，2，1)，P(0，0，2)，

又∵AP∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.

又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.

∴二面角E­AC­D的余弦值是.

(3)設(shè)直線CD與平面AEC所成的角為θ.

∵平面AEC的一個(gè)法向量為n＝1，－，1，

即直線CD與平面AEC所成角的正弦值為.