Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=5，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=7．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）當向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直時，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）對模兩邊平方，利用兩個向量的數(shù)量積的定義解得cosθ=$\frac{1}{2}$，即可求出θ的度數(shù)；
（2）根據(jù)向量垂直，其數(shù)量積為0，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=5，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=7，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=（$\overrightarrow{a}$）²+（$\overrightarrow$）²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ=9+25+30cosθ=47，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=60°；
（2）∵向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直，
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=0，
∴k|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow$|²+（1-2k）|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ=0，
即9k-50+（1-2k）×3×5×$\frac{1}{2}$=0，
解得k=-$\frac{85}{12}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量數(shù)量積的運算，向量的垂直的條件，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題