Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1-1=ca_n-c（n∈N*），其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a=0，b_n=n（1-a_n）（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴當(dāng)a₁=a≠1時(shí)，{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列，
∴，即，
當(dāng)a=1時(shí)，a_n=1仍滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為。
（Ⅱ）由（Ⅰ），得當(dāng)a=0時(shí)，，
當(dāng)c=1時(shí)，b_n=n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2+3+…+n；
當(dāng)c≠1時(shí)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2×c+3×c²+...+n×，①
由c×①，得cS_n=c+2c²+3c³+…+ncⁿ， ②
由①②兩式作差，得（1-c）S_n=1+c+c²+…+，
∴。