Question

(2007，安徽，17)如下圖，在六面體ABCD－中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，⊥平面，⊥平面ABCD，．

(1)求證：與AC共面，與BD共面；

(2)求證：平面⊥平面；

(3)求二面角A--C的大小(用反三角函數(shù)值表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析： 解法一(向量法)：以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在直線分別為x軸，Y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖，則有A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)． (1)， ， ． 與平行，與平行， 于是與AC共面，與BD共面． (2)， ， ， 與DB是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面． 又平面過(guò)AC， ∴平面⊥平面． (3)， ．設(shè)為平面的法向量， ， 于是，取， 則． 設(shè)為平面的法向量， ， ． 于是取， 則． ． ∴二面角的大小為． 解法二(綜合法)：(1)平面，平面ABCD， ∴，平面∥平面ABCD． 于是． 設(shè)E，F分別為DA，DC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，， 有 ， 于是， 由DE=DF=1，得，故，與AC共面． 過(guò)點(diǎn)作平面ABCD于點(diǎn)O，則，連結(jié)OE，0F，于是． ． ． 所以點(diǎn)O在BD上，故與DB共面． (2)平面ABCD，，又(正方形的對(duì)角線互相垂直)，與BD是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面． 又平面過(guò)AC， ∴平面平面． (3)∵直線DB是直線在平面ABCD上的射影， AC⊥DB，根據(jù)三垂線定理，有． 過(guò)點(diǎn)A在平面內(nèi)作于M，連結(jié)MC，MO，則平面AMC，于是， 所以，是二面角的一個(gè)平面角．根據(jù)勾股定理，有 ． ，有， ， 二面角的大小為．