Question

（上海春卷20）某廠根據(jù)市場需求開發(fā)折疊式小凳（如圖所示）. 凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管. 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿足：① 凳子高度為，② 三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面.

（1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段的比值（精確到）；

（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段之比為. 確定三根細(xì)鋼管的長度（精確到）.

Answer 1

[解]（1）設(shè)△的重心為，連結(jié).    由題意可得，.

設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為.

    已知凳子高度為. 則.       …… 3分

 節(jié)點(diǎn)與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.

 就是與平面所成的角，亦即.

    ，解得，.   …… 6分

    即節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為.

（2）設(shè)，.

     設(shè)△的重心為，

則，                 …… 10分

     由節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段之比為，可知.             

     設(shè)過點(diǎn)的細(xì)鋼管分別為，

     則 ，

        ，                

   對應(yīng)于三點(diǎn)的三根細(xì)鋼管長度分別為，和.    14分