Question

【題目】如圖， 是半圓的直徑， 是半圓上除、外的一個動點(diǎn)， 垂直于半圓所在的平面， ， ， ， .

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意首先證得平面，然后利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.

(2)由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，三棱錐體積最大,建立空間直角坐標(biāo)系可得二面角的余弦值為.

試題解析：

解：（1）因?yàn)?/span>是直徑，所以，

因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>， ，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>平面， ，

所以平面， ，

在中， ，

由（1）知，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， .

則， ， ， .

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

∴，取，則

，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

∴，取，則，

∴，

∴二面角的余弦值為.