Question

設(shè)拋物線y=x²的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線斜率為k且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，P在準(zhǔn)線l上．

(Ⅰ)當(dāng)k=1且直線產(chǎn)PA與PB相互垂直時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)P(k，)，試問是否存在常數(shù)λ，使等式恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵x²=2y，∴焦點(diǎn)F(0，)；  準(zhǔn)線方程為：y=-.

又∵k=1，∴過F的直線為：y=x+；

設(shè)A(x₁，x₁+)，B(x₂，x₂+)；

由可知:x²-2x-1=0．∴

設(shè)P(x，y)，∵P在準(zhǔn)線上，故y=．

=(x- x₁，-1-x₁)，=(x-x₂，-1-x₂)．

∵⊥，∴·=0．

∴(x-x₁，-1-x₁)(x-x₂，-1-x₂)=0．

∴x²-( x₁+x₂)x+2 x₁x₂+( x₁+x₂)+1=0．

∴x²-2x+1=0.∴x=1. ∴P(1，)．

(Ⅱ)∵=(x₁，)，=(x₂，)，

∴·=.

又∵=(,-1)，=，

∴存在λ=-1使得·=λ成立．