Question

17．（1）已知關于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．設集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別取一個數(shù)，記為a，b，求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓的概率．

Answer 1

分析 （1）利用列舉法確定基本事件，即可求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓，故$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞^{2}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，化簡得$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a＜2b}\end{array}\right.$，又a∈[1，5]，b∈[2，4]，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，利用面積比，即可求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓的概率．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為直線x=$\frac{2b}{a}$，要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當且僅當a＞0且$\frac{2b}{a}$≤1，即2b≤a．…（2分）
若a=1，則b=-1；
若a=2，則b=-1或1；
若a=3，則b=-1或1．
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5．…（4分）
而滿足條件的數(shù)對（a，b）共有3×5=15個
∴所求事件的概率為$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$．…（6分）
（2）方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1表示焦點在x軸上且離心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓，故$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞^{2}}\\{\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$…（8分）
化簡得$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a＜2b}\end{array}\right.$
又a∈[1，5]，b∈[2，4]，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，
…（10分）
陰影部分的面積為$\frac{15}{4}$，故所求的概率P=$\frac{15}{32}$．…（12分）

點評 本題考查概率的計算，考查學生的計算能力，區(qū)分兩種類型是關鍵．