Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=

2

．
（1）證明：DE⊥平面ACD；
（2）（文科）點P、Q分別為AE、BD的中點．求證：PQ∥平面ADC．
（3）（理科）求二面角B-AD-E的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；（2）PQ∥AO，而PQ?平面ADC，所以PQ∥平面ADC；（3）利用向量法求解．

解答： 解：（1）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2得，BD=BC=

2

，由AC=

2

，AB=2，則AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；

（2）（文科）：取DC中點O，連接EO、AO，BO．則四邊形DOBE為正方形，所以EO過點Q且Q平分EO，所以PQ∥AO，而PQ?平面ADC，所以PQ∥平面ADC．
（3）（理科）方法一：作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連結(jié)BG，由（ I）知，DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由

CD²=BD²+BC²，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥⊥平面ABC，從而，BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得：AC⊥CD，在Rt△ACD中，由CD=2，AC=

2

，得AD=

6

，
在Rt△AED中，DE=1，AD=

6

，得AE=

7

，在Rt△ABD中，BD=

2

，AB=2，AD=

6

，得BF=

2 3

3

，AF=

2

3

AD，從而GF=

2

3

，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE=

5 7

14

，BG=

2

3

，在△BFG中，cos∠BFG=

GF2+BF2-BG2

2BF•GF

=

3

2

，所以∠BFG=

π

6

，即二面角B-AD-E的大小是

π

6

．
方法二：以D為原點，分別以射線DE，DC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示，由題意可知各點坐標如下：

D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），A（0，2，

2

），B（1，1，0），設平面ADE的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），平面ABD的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），可算得

AD

=（0，-2，-

2

），

DB

=（1，1，0），

AE

=（1，-2，-

2

），由

m • AD =0 m • AE =0

得，

0-2y1- 2 z1=0 x1-2y1- 2 z1=0

，可取

m

=（0，1，-

2

），由

n • AD =0 n • BD =0

得，

0-2y2- 2 z2=0 x2+y2=0

，可取

n

=（1，-1，

2

），于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3

2

，由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角B-AD-E的大小是

π

6

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，同時考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．