Question

【題目】在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取兩個(gè)高度均為的圓柱，其軸截面如圖所示．設(shè)兩個(gè)圓柱體積之和為．

(1)求的表達(dá)式，并寫出的取值范圍；

(2）求兩個(gè)圓柱體積之和的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析：（1）圓柱的高、底面的半徑和球的半徑是一個(gè)直角三角形的三邊，故可以得到兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為， ，由此可以計(jì)算出兩個(gè)圓柱的體積之和以及的取值范圍．（2）因?yàn)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)討論該函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的最大值為．

解析：（1）自下而上兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為： ， ．它們的高均為，所以體積之和

．

因?yàn)?/span>，所以的取值范圍是．

(2) 由，得，令，因?yàn)?/span>，得． 所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， 取得極大值也是最大值， 的最大值為．

答：兩個(gè)圓柱體積之和的最大值為．