Question

已知函數y=，求：

（1）當x∈(0,+∞)時，函數的最大值；

（2）當x∈［2,+∞)時，函數的最大值.

Answer 1

思路點撥：求函數的最大值，可以根據函數的特點對函數解析式進行變形，本題由于分子是一次式，分母是二次式，所以可以變形為y=這種形式，然后根據均值定理和函數y=x+的單調性求得最大值；另一方面我們也可以把函數解析式轉化成方程，然后根據方程有根的情況求得y的最大值.

解法一：把y=變形為y=，

（1）當x∈(0,+∞)時，由于x+≥2（當且僅當x=1時，取“=”），

∴y≤40（當且僅當x=1時，取“=”）,即y的最大值是40.

（2）當x∈［2,+∞)時，x+是x的增函數，∴當x=2時，x+取得最小值，因此，當x=2時y=取得最大值32.

解法二：由y=變形得yx²-80x+y=0.

(1)∵x∈(0,+∞)，因此方程yx²-80x+y=0的判別式Δ=80²-4y²≥0，

∴-40≤y≤40.當y=40時，代入方程yx²-80x+y=0可得x=1,適合x＞0,

∴y的最大值為40.（當x=1時取得）

（2）∵x∈［2,+∞)，

∴關于x的方程yx²-80x+y=0應該有不小于2的解，當且僅當方程yx²-80x+y=0的大根≥2（其中y大于0），解得0＜y≤32.

∴y的最大值為32（當x=2時取得，即把y=32代入方程yx²-80x+y=0求得x=2）.