Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若， ，對(duì)任意， ， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)為（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)得，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）令，“對(duì)任意， ， 恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， ， 成立”， ，對(duì)進(jìn)行分類討論，最后求得答案。

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

當(dāng)時(shí)， ， ．

所以當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)， ，函數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)為．

（2）令，“對(duì)任意， ， 恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， ， 成立”．

由于，

當(dāng)時(shí)， 有，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， ．

因?yàn)?/span>，所以．

當(dāng)時(shí)， ，若，則，顯然不滿足；

當(dāng)時(shí)，令，得， ．

（i）當(dāng)，即時(shí)， 對(duì)成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以只需使，得，所以；

（ii）當(dāng)，即時(shí)， 對(duì)成立， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，所以，所以只需使，得或，

又因?yàn)?/span>，所以；

（iii）當(dāng)，即時(shí)， 對(duì)成立， 單調(diào)遞增，

， 不成立，

綜上， 的取值范圍是．