Question

如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km，AD為4km．，地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分．現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計）．設(shè)點P到邊AD的距離為t（單位：km），△BEF的面積為S（單位：km²）．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3km²？并說明理由．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C點坐標(biāo)為（2，4）．設(shè)邊緣線AC所在拋物線的方程為y=ax²，把（2，4）代入，可得拋物線的方程為y=x²．由于y'=2x，可得過P（t，t²）的切線EF方程為y=2tx-t²．可得E，F(xiàn)點的坐標(biāo)，S=

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)，即可得出定義域．
（2）S=

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)，利用導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C點坐標(biāo)為（2，4）．
設(shè)邊緣線AC所在拋物線的方程為y=ax²，
把（2，4）代入，得4=a×2²，解得a=1，
∴拋物線的方程為y=x²．
∵y'=2x，
∴過P（t，t²）的切線EF方程為y=2tx-t²．
令y=0，得E(

t

2

，0)；令x=2，得F（2，4t-t²），
∴S=

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)，
∴S=

1

4

(t3-8t2+16t)，定義域為（0，2]．
（2）S′=

1

4

(3t2-16t+16)=

3

4

(t-4)(t-

4

3

)，
由S'（t）＞0，得0＜t＜

4

3

，
∴S（t）在(0，

4

3

)上是增函數(shù)，在(

4

3

，2]上是減函數(shù)，
∴S在（0，2]上有最大值S(

4

3

)=

64

27

．
又∵

64

27

=3-

17

27

＜3，
∴不存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3km²．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值切線的方程、拋物線方程，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．