Question

8．設(shè)a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²$（{\frac{π}{2}-x}）$滿足f $（{-\frac{π}{3}}）$=f（0），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； （寫成形如y=Asin（wx+φ）+B的形式，w＞0）
（2）畫出函數(shù)在[0，π]的圖象；
（3）求函數(shù)在[$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用對函數(shù)解析式化簡整理，進而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的解析式．
（2）直接作圖即可，
（2）根據(jù)x的范圍，最后根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值

解答 解：（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²$（{\frac{π}{2}-x}）$=acosxsinx-cos²x+sin²x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x，
由f $（{-\frac{π}{3}}）$=f（0）得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=-1，解得a=2$\sqrt{3}$，
因此f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（2）圖象如圖所示：
（3）當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]時，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{11π}{24}$]時，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上的最大值為f（$\frac{π}{3}$）=2，
又因為f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，f（$\frac{11π}{24}$）=$\sqrt{2}$，
故f（x）的最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的靈活運用．