Question

在△ABC中，DEF為BC、AC、AB上的點(diǎn)，

AF

=

2

3

AB

，

AE

=

3

4

AC

，

AD

=λ（

AB

| AB |•cosB

+

AC

| AC |•cosC

），

DE

•

AD

=

DE

•

CD

，

DF

=μ（

BD •sinB

| BD |

+

AD •cosB

| AB |

），則

| BC |

| EF |

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：由題意得出

BC

⊥

AD

，

DE

⊥

AC

，

BA

⊥

DF

，得A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，證明△AEF∽△ABC，求出

EF

BC

=

AE

AB

=

AF

AC

的值，即得結(jié)果．

解答： 解：如圖所示，
∵

.

AD

=λ（

AB

| AB |•cosB

+

AC

| AC |•cosC

），
∴

BC

•

AD

=λ[

| AB |•| BC |•(-cosB)

| AB |•cosB

+

| AC |•| BC |•cosC

| AC |•cosC

]=0，
∴

BC

⊥

AD

，即BC⊥AD；
∵

DE

•

AD

=

DE

•

CD

，
∴

DE

•（

AD

-

CD

）=0，
∴

DE

•（

DC

-

DA

）=0，
即

DE

•

AC

=0，
∴

DE

⊥

AC

，即DE⊥CA；
又∵

DF

=μ（

BD •sinB

| BD |

+

AD •cosB

| AD |

），
∴

BA

•

DF

=μ[

| BD |•| BA |•cosB•sinB

| BD |

+

| AD |•| BA |•(-sinB)•cosB

| AD |

]=0，
∴

BA

⊥

DF

，即BA⊥DF；
連接EF，∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠AEF=∠ADF；
又∵AD⊥BC，∴∠B=∠ADF，
∴∠B=∠AEF，
∴△AEF∽△ABC；
∴

EF

BC

=

AE

AB

=

AF

AC

，
∵

AF

=

2

3

AB

，

AE

=

3

4

AC

，
∴

3 4 AC

AB

=

2 3 AB

AC

，即AC=

2 2

3

AB；
∴

EF

BC

=

AE

AB

=

3 4 AC

AB

=

3 4 × 2 2 3 •AB

AB

=

2

2

，
∴

| BC |

| EF |

=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、四點(diǎn)共圓的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、向量共線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力和計算能力，是難題．