Question

5．已知S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，求通項(xiàng)．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²與S_n+1=$\frac{1}{4}$（a_n+1+1）²作差、整理可知（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），進(jìn)而數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，
∴S_n+1=$\frac{1}{4}$（a_n+1+1）²，
兩式相減得：a_n+1=$\frac{1}{4}$（${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-2a_n），
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=$\frac{1}{4}$（a₁+1）²，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．