Question

6．已知復(fù)數(shù)z₁、z₂滿足z₁•$\overline{{z}_{2}}$≠0，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，求證：$\frac{{{z}_{1}}^{2}}{{{z}_{2}}^{2}}$＜0．

Answer 1

分析 通過復(fù)數(shù)的模相等，判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量垂直，然后設(shè)出復(fù)數(shù)三角形式，然后證明即可．

解答 證明：|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，可知復(fù)數(shù)z₁、z₂對(duì)應(yīng)的向量互相垂直，
即$\overrightarrow{{OZ}_{1}}⊥\overrightarrow{{OZ}_{2}}$，
設(shè)z₁=r₁${e}^{i{θ}_{1}}$，z₂=r₂${e}^{i{θ}_{2}}$，θ₁-θ₂=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴$\frac{{{z}_{1}}^{2}}{{{z}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}{e}^{i•2（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}$=$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}{e}^{i•（π+2kπ）}$，k∈Z
=$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}[cos（π+2kπ）+isin（π+2kπ）]$
=-$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}＜0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，判斷復(fù)數(shù)的向量的垂直關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．