Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為B，那么△F₁B F₂的外接圓方程為

x²+y²=1

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)橢圓的基本概念，求出兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂和上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算F₁B、BF₂和F₁F₂的長(zhǎng)，得到△F₁BF₂是以F₁F₂為斜邊的等腰直角三角形，因此，△F₁B F₂的外接圓是以F₁F₂為直徑的圓，不難得到外接圓方程為x²+y²=1．

解答：解：在橢圓

x2

2

+y2=1中，a²=2，b²=1
∴c²=a²-b²=1，可得橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為
F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
又∵頂點(diǎn)為B（0，1），
∴△F₁BF₂中，F(xiàn)₁B=

(0+1)2+(1-0)2

=

2

BF₂=

(1-0)2+(0-1)2

=

2

，F(xiàn)₁F₂=2
∴F₁B=BF₂=

2

2

F₁F₂，△F₁BF₂是以F₁F₂為斜邊的等腰Rt△
因此，△F₁B F₂的外接圓是以F₁F₂為直徑的圓，
圓心為原點(diǎn)（0，0），半徑為

1

2

F₁F₂=1
∴方程△F₁B F₂的外接圓方程x²+y²=1．
故答案為：x²+y²=1

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，通過(guò)求焦點(diǎn)三角形外接圓的方程，著重考查了橢圓的基本概念、三角形形狀的判斷和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．