Question

已知數(shù)列，滿足：，當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意的正整數(shù)，．設(shè)的前項(xiàng)和為.

（1）計(jì)算，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求滿足的的集合.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】(1)先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵.由及兩式相減可得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，公差為，而，故是公差為的等差數(shù)列.

（2）在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，可求出{}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.

然后再根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)采用數(shù)列求和的方法求和,之后再確定s_n的單調(diào)性進(jìn)而確定其取值范圍.

解：（1）在中，取，得，又，，故同樣取可得……………………分

由及兩式相減可得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，公差為，而，故是公差為的等差數(shù)列，……………………分

注：猜想而未能證明的扣分；用數(shù)學(xué)歸納法證明不扣分.

（2）在中令得……………………分

又，與兩式相減可得：，，即當(dāng)時(shí)， 

經(jīng)檢驗(yàn)，也符合該式，所以，的通項(xiàng)公式為………………9分

.

相減可得：

利用等比數(shù)列求和公式并化簡(jiǎn)得：……………………11分

可見(jiàn)，，……………………12分

經(jīng)計(jì)算，，注意到 的各項(xiàng)為正，故單調(diào)遞增，所以滿足的的集合為……………………14分.