Question

【題目】已知橢圓：的短軸端點(diǎn)為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不與，重合，點(diǎn)滿足，.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，，結(jié)合垂直關(guān)系設(shè)出兩直線的方程，相乘即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示四邊形面積，轉(zhuǎn)求函數(shù)最值即可.

（Ⅰ）法一：設(shè)，，

直線

直線

得

又，

，

整理得點(diǎn)的軌跡方程為

法二：設(shè)，，

直線

直線

由,解得：，又，

故，代入得.

點(diǎn)的軌跡方程為

法三：設(shè)直線，則直線

直線與橢圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

則直線的斜率為.

直線

由 解得:點(diǎn)的軌跡方程為：

（Ⅱ）法一：設(shè)，由（Ⅰ）法二得：

四邊形的面積，

，當(dāng)時(shí)，的最大值為.

法二：由（Ⅰ）法三得：四邊形的面積

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.