Question

（本題14分）．在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點．

（1）求直線與平面所成的角的正弦值；

（2）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】解法一：，又，則是的中點，故

，，

則，

設D到平面ACM的距離為，由，有，可求得，

設直線與平面所成的角為，則．

（2）可求得PC=6．因為AN⊥NC，由，得PN．

所以．故N點到平面ACM的距離等于P點到平面ACM距離的．

又因為M是PD的中點，則P、D到平面ACM的距離相等，由⑵可知所求距離為．

解法二：

 

（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，， ，，；

設平面的一個法向量，由，

可得：，令，則．

設所求角為，則．

（2）由條件可得，．在中，，

所以，則，，

所以所求距離等于點到平面距離的，

設點到平面距離為，則，故所求距離為．