Question

16．已知拋物線C的頂點為坐標原點，對稱軸為x軸，且過點（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若斜率為2的直線l與拋物線C相切于點A，求直線l的方程和切點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）設出拋物線方程，代入點的坐標，可得拋物線C的方程；
（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式為0，求出b，即可求直線l的方程和切點A的坐標．

解答 解：（1）由C的頂點為坐標原點，對稱軸為x軸，可設：C：y²=2px
∵y²=2px過點（1，1），∴1=2p，解得$p=\frac{1}{2}$…（4分）
∴拋物線C的方程為y²=x…（5分）
（2）∵直線l的斜率為2，∴設l：y=2x+b
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+b\\{y^2}=x\end{array}\right.$得2y²-y+b=0，…（7分）
∵l與C相切，∴△=（-1）²-8b=0，∴$b=\frac{1}{8}$…（8分）
把$b=\frac{1}{8}$代入y=2x+b得，$y=2x+\frac{1}{8}$，即l：16x-8y+1=0…（10分）
把$b=\frac{1}{8}$代入2y²-y+b=0得$y=\frac{1}{4}$，∴$x=\frac{1}{16}$，∴$A（{\frac{1}{16}，\frac{1}{4}}）$…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．