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已知向量
a
=(cosα，1)，
b
=(-2，sinα)，α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b
．
（Ⅰ）求sinα的值；  
（Ⅱ）求tan2α的值．
分析：（Ⅰ）由 兩個向量垂直的性質建立方程可求得cosα=
1
2
sinα，再由同角三角函數(shù)的基本關系及角α的范圍求出sinα=-
2
5
5
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-
5
5
，利用同角三角函數(shù)的基本關系求出cosα=-
5
5
，進而求得tanα的值，再由二倍角公式求出tan2α的值．
解答：解：（Ⅰ）由向量
a
=(cosα，1)，
b
=(-2，sinα)，且
a
⊥
b
．
可得
a
•
b
=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．
即-2cosα+sinα=0． 所以cosα=
1
2
sinα．（3分）
因為sin2α+cos2α=1，所以sin2α=
4
5
．
因為α∈(π，
3π
2
)，所以sinα=-
2
5
5
．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-
5
5
．
再由 sinα=-
2
5
5
，則得 tanα=2．（8分）
故 tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
4
-3
=-
4
3
．（13分）
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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