Question

已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：(綜合法)∵a＞0，b＞0，則＋≥2＝2， 　　同理：＋≥2，以上兩式相加得＋＋＋≥2＋2， 　　∴＋≥＋． 　　證法二：(比較法：作差比較法) 　　(＋)－(＋)＝＝＝． 　　由a＞0，b＞0，有＋＞0，·＞0，(－)2≥0， 　　故(＋)－(＋)≥0．∴＋≥＋． 　　證法三：(分析法)∵a＞0，b＞0，故·＞0． 　　欲證＋≥＋， 　　只要證a＋b≥a＋b， 　　只要證(a＋b)2≥(a＋b)2， 　　即證a3＋b3＋2ab≥a2b＋b2a＋2ab， 　　只要證a3＋b3≥a2b＋b2a， 　　只要證a2(a－b)＋b2(b－a)≥0， 　　只要證(a－b)2(a＋b)≥0． 　　∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥0，(a－b)2≥0， 　　∴(a－b)2(a＋b)≥0成立，∴＋≥＋． 　　分析：由題中已知條件a，b∈R+與求證式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可采用不等式證明的三種基本方法．

提示：

評(píng)注：對(duì)不等式觀察分析的角度不同，選用的證法就不同，變形的方向就存在差異，呈現(xiàn)多姿多彩的美境，但又都殊途同歸．