Question

已知二次函數y=f（x）的圖象頂點為A（-1，2），且圖象經過原點，
（1）求函數y=f（x）的解析式
（2）求函數y=f（2^x）的值域．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）設出二次函數的頂點式，利用已知頂點和定點，求出待定系數，得到本題結論；（2）通過換元，將函數y=f（2^x）轉化為二次函數在區(qū)間上的值域，研究二次函數值域，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵二次函數y=f（x）的圖象頂點為A（-1，2），
∴設f（x）=a（x+1）²+2，
∵二次函數y=f（x）的圖象經過原點，
∴a+2=0，a=-2．
∴f（x）=-2x²-4x．
（2）函數y=f（2^x）=-2•（2^x）²-4•2^x，
令2^x=t，
則g（t）=-2t²-4t，（t＞0），
∵g（t）在（0，+∞）上單調遞減，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴函數y=f（2^x）的值域為（-∞，0）．

點評：本題考查了二次函數的解析式和二次函數在區(qū)間上的值域，本題難度不大，屬于基礎題．