Question

設曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長度后，得到曲線C₁.
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）證明：曲線C與C₁關于點A（，）對稱.

Answer 1

⑴；⑵證明見解析.

（1）C₁：……………………………………①
（2）分析：要證明曲線C₁與C關于點A（，）對稱，只需證明曲線C₁上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C上，反過來，曲線C上任意一個點關于A點的對稱點都在曲線C₁上即可.
證明：設P₁（x₁，y₁）為曲線C₁上任意一點，它關于點A（，）的對稱點為
P（t－x₁，s－y₁），把P點坐標代入曲線C的方程，左=s－y₁，右=（t－x₁）³－（t－x₁）.
由于P₁在曲線C₁上，∴y₁－s=（x₁－t）³－（x₁－t）.
∴s－y₁=（t－x₁）³－（t－x₁），即點P（t－x₁，s－y₁）在曲線C上.
同理可證曲線C上任意一點關于點A的對稱點都在曲線C₁上.
從而證得曲線C與C₁關于點A（，）對稱.