Question

已知函數(shù)函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù). ①當(dāng)曲線在點的切線與軸、軸圍成的三角形面積為，求的最大值；

②若時恒成立，求t的取值范圍；

③試判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，并作出證明．

 

Answer 1

【答案】

 

①因為，切線的斜率為切點

故切線的方程為即，…1分

令得,又令得

所以          ……………2分

從而

∵當(dāng)時，,當(dāng)時,,

所以的最大值為                 ……………4分

②由①知：，

上單調(diào)遞減，

即在[-1，1]上恒成立，    ……………6分

要使時恒成立

因

（其中）恒成立，

令，

則恒成立，

                                             ……………9分

③函數(shù)連續(xù)，且

當(dāng)時,為減函數(shù),

當(dāng)時, 為增函數(shù),

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，為極小值，而且

對都有

故當(dāng)整數(shù)時，……………11分

所以當(dāng)整數(shù)時， ，

函數(shù)在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知，存在唯一的

而當(dāng)整數(shù)時，

 ………13分

類似地，當(dāng)整數(shù)時，函數(shù)在 上為連續(xù)增函數(shù)且與異號，由所給定理知，存在唯一的故當(dāng)時，方程在內(nèi)有兩個實根       ………15分

 

【解析】略