Question

【題目】已知五邊形ABECD由一個(gè)直角梯形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成（如圖1所示），且．將梯形沿著折起（如圖2所示），點(diǎn)是的中點(diǎn)，平面

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)平面，得到平面平面，由，得到平面即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面EAD和平面EBD的一個(gè)法向量，代入公式求解.

（1）因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面平面，

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，三角形是等邊三角形，

所以，且平面平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以；

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，則，

，

設(shè)平面EAD的一個(gè)法向量為，

則有，即，

令，則，

設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為，

則有，即，

令，則，

所以，

又由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.