Question

某商場(chǎng)在店慶日進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“生”“意”“興”三個(gè)字的球?yàn)槿�等�?jiǎng)．
（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)“摸到一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)”分別為事件A，B，C，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；
（Ⅱ）由于摸球次數(shù)為ξ，按題意則ξ=1，2，3，4，利用隨機(jī)變變量的定義及隨機(jī)變量的分布列及期望定義即可求得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)“摸到一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)”分別為事件A，B，C．
則P（A）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

256

，
P（B）=

A 3 3 -1

43

=

5

256

；
三等獎(jiǎng)的情況有：“生，生，意，興”；“生，意，意，興”；“生，意，興，興”三種情況．
P（C）=(

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

)+(

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

)+(

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

)=

9

64

；
（Ⅱ）設(shè)摸球的次數(shù)為ξ，則ξ=1，2，3，4．
P(ξ=1)=

1

4

，P(ξ=2)=

3

4

×

1

4

=

3

16

，P(ξ=3)=

3

4

×

3

4

×

1

4

=

9

64

，P(ξ=4)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=

27

64

．
故取球次數(shù)ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 4	3 16	9 64	27 64

Eξ=

1

4

×1+

3

16

×2+

9

64

×3+

27

64

×4=2.75．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生的理解及計(jì)算能力，考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生及互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式，還考查了離散型隨機(jī)變量的定義及分布列，隨機(jī)變量的期望．